9-2. 독립동일분포(표본평균의 분포)

표본평균의 분포란?

• 서로 독립이고 동일한 확률분포를 따르는 확률변수 $X_1, X_2, ..., X_n$의 표본평균 $\bar{X}$이 따르는 분포.

• 이 분포는 모평균의 구간추정이나 모평균의 검정에서 사용.

 

표본평균의 기댓값과 분산

• 확률변수 $X_1, X_2, ..., X_n$이 기댓값이 $\mu$, 분산이 ${\sigma}^2$인 확률 분포를 따를 때,

$$E(\bar{X})=\mu$$

$$V(\bar{X})=\frac{{\sigma}^2}{n}$$

 

표본평균의 분포

• 원래 분포가 뭐였든 간에(정규 분포, 포아송 분포), 표본평균의 분포는 표본 크기가 커짐에 따라 정규 분포에 가까워짐.

• 중심극한정리(Central limit theorem)

  • 확률변수 $X_1, X_2, ..., X_n$이 서로 독립이고, 동일한 확률분포를 따를 때, $n$이 커짐에 따라 표본평균 $\bar{X}$의 분포는 정규분포 $N(\mu, \frac{{\sigma}^2}{n})$에 가까워짐.

• 대수의 법칙(Law of large numbers)

  • 표본 크기를 키우면 표본평균은 모평균에 수렴.

  • 예: 주사위를 무한히 굴릴수록 6이 나오는 확률은 1/6에 가까워짐.